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二維熱傳導方程式的解
系列條目微积分学
函数
极限论
微分学
积分
微积分基本定理
微积分发现权之争
基础概念（含极限论和级数论）
實數性質
函数
单调性
初等函数
數列
极限
实数的构造
1=0.999…
无穷
銜尾蛇
無窮小量
ε-δ語言
实无穷（英语：Actual infinity）
大O符号
最小上界
收敛数列
芝诺悖论
柯西序列
单调收敛定理
夹挤定理
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
斯托尔兹-切萨罗定理
上极限和下极限
函數極限
渐近线
邻域
连续
連續函數
不连续点
狄利克雷函数
稠密集
一致连续
紧集
海涅-博雷尔定理
支撑集
欧几里得空间
点积
叉积
三重积
拉格朗日恒等式
等价范数
坐標系
凸集
巴拿赫不动点定理
级数
收敛级数
几何级数
调和级数
項測試
格兰迪级数
收敛半径
审敛法
柯西乘积
黎曼级数重排定理
函数项级数
一致收斂
迪尼定理
數列與級數
連續
函數
一元微分
差分
均差
微分
微分的线性
导数
流数法
二阶导数
光滑函数
高阶微分
莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation）
幽灵似的消失量
介值定理
中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
求导法则
乘积法则
广义莱布尼茨定则（英语：General Leibniz rule）
除法定则
倒数定则
链式法则
洛必达法则
反函数的微分
Faà di Bruno公式（英语：Faà di Bruno's formula）
对数微分法
导数列表
导数的函数应用
单调性
切线
极值
驻点
拐点
求导检测（英语：derivative test）
凸函數
凹函數
簡森不等式
曲线的曲率
埃尔米特插值
达布定理
魏尔施特拉斯函数
一元积分
积分表
定义
不定积分
定积分
黎曼积分
达布积分
勒贝格积分
积分的线性
求积分的技巧
换元积分法
三角换元法
分部积分法
部分分式积分法
降次积分法
微元法
积分第一中值定理
积分第二中值定理
微积分基本定理
反常積分
柯西主值
積分函數
Β函数
Γ函数
古德曼函数
椭圆积分
數值積分
矩形法
梯形公式
辛普森積分法
牛顿-寇次公式
积分判别法
傅里叶级数
狄利克雷定理
周期延拓
魏尔施特拉斯逼近定理
帕塞瓦尔定理
刘维尔定理
多元微积分
偏导数
隐函数
全微分
微分的形式不变性
二阶导数的对称性
全微分
方向導數
标量场
向量場
梯度
Nabla算子
多元泰勒公式
拉格朗日乘数
黑塞矩陣
鞍點
多重积分
逐次积分
积分顺序（英语：Order of integration (calculus)）
积分估值定理
旋转体
帕普斯-古尔丁中心化旋转定理
祖暅-卡瓦列里原理
托里拆利小号
雅可比矩阵
广义多重积分
高斯积分
若尔当曲线
曲线积分
曲面积分
施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца）
散度
旋度
通量
可定向性
格林公式
高斯散度定理
斯托克斯定理及其外微分形式
若尔当测度
隐函数定理
皮亚诺-希尔伯特曲线
积分变换
卷积定理
积分符号内取微分
莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule）
多变量原函数的存在性
全微分方程
外微分的映射原像存在性
恰当形式
向量值函数
向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative）
加托导数
弗雷歇导数
矩阵的微积分（英语：matrix calculus）
弱微分
微分方程
常微分方程
柯西-利普希茨定理
皮亚诺存在性定理
分离变数法
级数展开法
积分因子
拉普拉斯算子
欧拉方法
柯西-欧拉方程
伯努利微分方程
克莱罗方程
全微分方程
线性微分方程
叠加原理
特徵方程式
朗斯基行列式
微分算子法
差分方程
拉普拉斯变换
偏微分方程
拉普拉斯方程
泊松方程
施图姆-刘维尔理论
N体问题
积分方程
相关数学家
牛顿
莱布尼兹
柯西
魏尔斯特拉斯
黎曼
拉格朗日
欧拉
帕斯卡
海涅
巴罗
波尔查诺
狄利克雷
格林
斯托克斯
若尔当
达布
傅里叶
拉普拉斯
雅各布·伯努利
約翰·白努利
阿达马
麦克劳林
迪尼
沃利斯
费马
达朗贝尔
黑维塞
吉布斯
奥斯特罗格拉德斯基
刘维尔
棣莫弗
格雷果里
玛达瓦
婆什迦羅第二
阿涅西
阿基米德
历史名作
从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes）
分析学教程（英语：Cours d'Analyse）
无穷小分析引论
用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas）
流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)）
微积分学教程
纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics）
机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）
分支学科
实变函数论
複分析
傅里叶分析
变分法
特殊函数
动力系统
微分几何
微分代数
向量分析
分数微积分
玛里亚温微积分（英语：Malliavin calculus）
随机分析
最优化
非标准分析
查论编
偏微分方程（英語：partial differential equation，縮寫作PDE）指含有未知函數及其偏導數的方程。描述自變量、未知函數及其偏導數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。
偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。
記號及例子[编辑]
方程式中常以u為未知數及偏微分，如下：
u
x
y
=
∂
2
u
∂
y
∂
x
{\displaystyle u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}}
用於空間偏微分的梯度運算子
∇
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle \nabla =({\partial \over \partial _{x}},{\partial \over \partial _{y}},{\partial \over \partial _{z}})}
時間偏微分
u
˙
=
∂
u
∂
t
{\displaystyle {\dot {u}}={\partial u \over \partial t}}
，線性偏微分方程式的例子如下：
拉普拉斯方程[编辑]
u
x
x
+
u
y
y
+
u
z
z
=
0
{\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0}
適用于重力场问题的求解。
泊松方程[编辑]
u
x
x
+
u
y
y
+
u
z
z
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=f(x,y,z)}
適用於所有物質或電荷的重力場或靜電場。
波動方程式[编辑]
未知函數u(x,y,z,t):
u
t
t
=
c
2
(
u
x
x
+
u
y
y
+
u
z
z
)
{\displaystyle u_{tt}=c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})}
u
¨
=
c
2
∇
2
u
{\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u}
熱傳導方程式[编辑]
u
t
=
k
(
u
x
x
+
u
y
y
+
u
z
z
)
{\displaystyle u_{t}=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})}
其中k代表該材料.
適定问题[编辑]
偏微分方程解中任意函数的出现必然产生解的各种差异，考虑到几乎不知道这些解的详情，在大多数问题中惯常的目标是找满足合适的和确定的条件（例如在空间的边界处和某固定时刻）的那些解，要求这些条件可以确定唯的解是自然的要求。
如果要說一個PDE是適定的，則必須要有:
存在性:至少存在一個解
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
滿足初始條件還有其他輔助條件
唯一性:存在最多一個解
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
滿足初始條件還有其他輔助條件
穩定性:唯一的解
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
不會因為初始條件的微小變動，產生巨大的變化。或是說，當初始資料變化微小，解的變化也很微小。
法国数学家阿达马强调后一方面，当解不连续地依赖于原始数据变化时称此问题是不适定的或提得不正确的
不适定的例子
对于双变量的Laplace方程：
∂
2
z
∂
x
2
+
∂
2
z
∂
y
2
=
0
(
y
>
0
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=0(y>0)}
在边界条件
z
(
x
,
0
)
=
0
{\displaystyle z(x,0)=0}
和
∂
z
(
x
,
0
)
∂
y
=
1
n
cos
n
x
{\displaystyle {\frac {\partial z(x,0)}{\partial y}}={\frac {1}{n}}\cos nx}
之下，符合条件的解为
z
(
x
,
y
)
=
1
n
2
sinh
(
n
y
)
cos
(
n
x
)
{\displaystyle z(x,y)={\frac {1}{n^{2}}}\sinh(ny)\cos(nx)}
当
n
→
+
∞
{\displaystyle n\rightarrow +\infty }
时
其数据在
y
=
0
{\displaystyle y=0}
处
z
{\displaystyle z}
和
∂
z
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}}
的指定值趋于0，而
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle z(x,y)}
的值在无穷大的范围内震荡，所以这个解不适定。
分类[编辑]
一些线性二阶偏微分方程可以分为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这种分类便于在解偏微分方程时寻找初始条件提供依据。
一阶偏微分方程[编辑]
主条目：一阶偏微分方程
一阶偏微分方程是指和未知數的一階導數有關的偏微分方程，表示式为：
A
u
x
+
B
u
y
+
⋯
=
0
,
{\displaystyle Au_{x}+Bu_{y}+\cdots =0,}
其中参数A,B是x,y的變數。
二阶偏微分方程[编辑]
表示式为：
A
u
x
x
+
2
B
u
x
y
+
C
u
y
y
+
⋯
=
0
,
{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots =0,}
其中参数
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
是
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
的變數。如果在
x
y
{\displaystyle xy}
平面上有
A
2
+
B
2
+
C
2
>
0
{\displaystyle A^{2}+B^{2}+C^{2}>0}
，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。二阶偏微分方程類似以下的圓錐方程：
A
x
2
+
2
B
x
y
+
C
y
2
+
⋯
=
0.
{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}
该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，其分类方式为：
B
2
−
A
C
<
0
{\displaystyle B^{2}-AC\,<0}
且
(
A
,
B
,
C
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle (A,B,C)\neq (0,0,0)}
：椭圆方程；
B
2
−
A
C
=
0
{\displaystyle B^{2}-AC=0\,}
或
(
A
,
B
,
C
)
=
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle (A,B,C)=(0,0,0)}
：抛物线方程；
B
2
−
A
C
>
0
{\displaystyle B^{2}-AC\,>0}
：双曲线方程;
若有
n
{\displaystyle n}
個獨立變量
x
1
,
x
2
,
…
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots x_{n}}
，則此二階線性偏微分方程為:
L
u
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
,
j
∂
2
u
∂
x
i
∂
x
j
{\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad }
我們可以依靠係數矩陣
a
i
,
j
{\displaystyle a_{i,j}}
的特徵值的正負號去區分方程的種類:
橢圓方程：特徵值為全正或是全負。
拋物線方程：特徵值其中有一個是0，然後其他的都是全正或是全負。
雙曲線方程：特徵值一個為正數，其他為負數，或是一個為負數，其他為正數。
超雙曲線方程：正數的特徵值與負數的特徵值的個數都大於一，且沒有一個特徵值為0的數。
混合形式方程[编辑]
如果偏微分方程的系数不是一个常数，该偏微分方程可能不属于以上几种类别之一，而可能是混合形式方程。一个简单的例子为Euler–Tricomi方程：
u
x
x
=
x
u
y
y
{\displaystyle u_{xx}\,=xu_{yy}}
该方程称为椭圆双曲线方程。因为当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时是椭圆形式，当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时是双曲线形式。
解析法解偏微分方程[编辑]
一些有效的解析法解偏微分方程方法：
分离变量法[编辑]
主条目：可分離變數的偏微分方程
通过分离变量法减少偏微分方程中的变量，将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。
特征线法[编辑]
主条目：特征线法
沿着一阶偏微分方程的特征线，偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。
积分变换[编辑]
利用积分法，将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程，方便求解。一般为傅里叶变换分析。
变量变换[编辑]
通过适当的变量变换，可以简化偏微分方程的求解。一个典型的例子为Black–Scholes方程：
∂
V
∂
t
+
1
2
σ
2
S
2
∂
2
V
∂
S
2
+
r
S
∂
V
∂
S
−
r
V
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}
可以简化为热力方程：
∂
u
∂
τ
=
∂
2
u
∂
x
2
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}
通过如下变换：
V
(
S
,
t
)
=
K
v
(
x
,
τ
)
{\displaystyle V(S,t)=Kv(x,\tau )\,}
x
=
ln
(
S
/
K
)
{\displaystyle x=\ln(S/K)\,}
τ
=
1
2
σ
2
(
T
−
t
)
{\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}
v
(
x
,
τ
)
=
e
−
α
x
−
β
τ
u
(
x
,
τ
)
.
{\displaystyle v(x,\tau )=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\,}
基本解[编辑]
非齐次偏微分方程可通过寻找基本算子，然后通过带有初始条件的卷积来解答。
该法常用于信号处理中通过冲激响应来求解滤波器。
叠加原理[编辑]
因为一个线性齐次偏微分方程解的重叠也可看做一个解，所以可以通过交叉重叠这些解得到偏微分方程的一个解。
数值法解偏微分方程[编辑]
主条目：偏微分方程數值方法
在众多求解偏微分方程的数值方法中，三种应用最广的方法为有限元素法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其中，有限元法占主要地位，尤其是它的高效高阶版本—hp-FEM（英语：hp-FEM）。其它版本的有限元法还有：广义有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、扩展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、无网格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、离散迦辽金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。
参考文献[编辑]
書目[编辑]
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